Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine fundierte by Prof. Dr. Christian Hesse (auth.)

By Prof. Dr. Christian Hesse (auth.)

Das Buch gibt eine Einf?hrung in die Denkweisen, Methoden und Resultate der Wahrscheinlichkeitstheorie f?r Studierende der Mathematik und anderer Disziplinen. Neben einer intuitiven Verankerung der Theorie wird gro?er Wert auf realit?tsnahe Aufgaben und Beispiele gelegt. Das Buch enth?lt eine Vielzahl dieser Anwendungen aus den verschiedensten Gebieten.
Ein weiterer Vorzug: Die Beweisf?hrungen sind - bei aller mathematischen Strenge - m?glichst kurz und elementar gehalten, und es wurde Wert darauf gelegt, dass sie die ihnen zugrunde liegenden Ideen zu Tage treten lassen.
Auf diese Weise bem?ht sich das Buch, beiden Erscheinungsformen der Wahrscheinlichkeitstheorie gerecht zu werden: Als Teilgebiet der Mathematik besitzt diese alle Besonderheiten gelungener mathematischer Konzeptionen, von ausgefeilten Theoriegeb?uden ?ber strenge Argumentationslinien bis hin zu faszinierenden gel?sten und offenen Problemen. Als interdisziplin?re Wissenschaft erh?lt sie viele Anst??e von au?erhalb der Mathematik, und ihre Modelle und Methoden finden sich in so intestine wie jedem anderen Wissenschaftsbereich, von der Dynamik von Vielteilchensystemen, der stochastischen examine von Algorithmen, der Qualit?tskontrolle bis hin zur Aktienkursmodellierung und Spieltheorie.

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B) (Multiplikationsformel) Ist P(A I n··· n An-I) P(A I n ... • P(An IAl n ... n An-I). h. ist U~=l B n = n und Bi n B j = 0, 'Vi =1= j , dann gilt für alle A E A 00 P(A) = LP(A I Bi)P(B t ). 43) i=l Gelegentlich nennt man P(A) die Apriori- Wahrscheinlichkeit von A und P(A I B t ) die Aposteriori- Wahrscheinlichkeit von A unter der Voraussetzung Bi; auch können die Bi bisweilen als Ursachen gedeutet werden, aus denen A mit den Wahrscheinlichkeiten P(A IBi) folgt. 14 Die Maschinen MI, M2, M3 produzieren jeweils 60%,30% bzw.

Ferner ist Xn(w) ::; X n+1 (w), \:Iw E n, denn für i = 0, ... , n . 2n - 1 ist Af die disjunkte Vereinigung von A~tl und A~it\ , und A~'2n ist die disjunkte Vereinigung von A~+1 mit k = n· 2n +1, ... , (n + 1)2 n +1 . Für jene wEn, deren Funktionswert X(w) = 00 ist, gilt Xn(w) = n t 00 = X(w) , und für jene wEn mit X(w) < 00 ist Xn(w) ::; X(w) < Xn(w) +2- n , sofern n > X(w) ist. Insgesamt gilt X n t X . Für X E M+ sei nun (Xn)nEf\! eine punktweise gegen X konvergente, isotone Folge in Me. 20) heißt das Integral von X bezüglich P.

35) n--+oo Beweis. 35) nichts anderes ist als die Definition des Erwartungswertes der Zufallsgröße X . s. gegen X n konvergiert. Auch die Funktionen (Yk)kEN" mit Yk:= max Xnk lSnSk ' bilden eine isotone Folge elementarer Zufallsgrößen. 36) und wegen Monotonie des Integrals gilt EXn,k Mit k -t 00 ~ EYk ~ EXk. 38) lim X n n--+oo < lim Yk < lim X k - k--+oo - k--+oo und daraus lim Yk = lim Xk . 37) E( lim Yk ) = E( lim X k ) ~ lim EXk. 39) lim EXn ~ E( lim Xk) ~ lim EXk n--+oo und damit die Aussage des Satzes.

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