Analytische Funktionen in der Zahlentheorie by Ekkehard Krätzel

By Ekkehard Krätzel

Im Mittelpunkt des Buches steht die Behandlung von Funktionalgleichungen analytischer Funktionen, die für die Anwendungen in der Zahlentheorie von Interesse sind. Ausgehend vom Gedankenkreis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes werden die analytischen Grundlagen durch die Jacobischen Thetafunktionen und die Dedekindsche Etafunktion gelegt und ihre Beziehungen zu den Gaußschen und Dedekindschen Summen erörtert. Anschließend werden Verallgemeinerungen dieser Funktionen bezüglich höherer arithmetischer Probleme besprochen. Schließlich werden analytische Funktionen über konvexen Körpern betrachtet und Abschätzungen von Gitterpunktanzahlen in konvexen Körpern vorgenommen.

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28). ¥:. -00 1m letzten Schritt haben wir y = it mit t > 0 angenommen, so daB Vi > 0 ist. Durch analytische Fortsetzung gilt das Resultat dann allgemein. Daher ist c(y) = If If mit > 0 fiir y = it, Also ist f(x,y) = 1J(x,y) = {y L o - +00 (x+n)2 e- 7rZ 0 t > O. y -. y-oo Daraus ergibt sich sogleich folgellder Satz. 12 Die Jacobische Thetafunktion genugt der Funktionalgleichung 1J(x;y) wobei ffy> 0 fur y = it, das Reziprozitiitsgesetz = lfe-7ri~1J (~;-~), t > 0 ist. Insbesondere erfullt die Funktion y 1J(0; y) = 1f1J (0; -~) .

Nz). (z) in die rechte Halbebene Re(z) > 0 analytisch fort set zen k6nnen, wobei wir uns stets auf den Hauptzweig des Logarithmus festlegen. (nz) 00 n=l in die rechte Halbebene analytisch fortsetzen. Wir beweisen zuniichst fUr diese Reihe eine Funktionalgleichung. 53) gegeben. ( nz) = - log z + - + L >. 54) Z in der Halbebene Re(z) > 0, wobei der Logarithmus auf den Hauptzweig festgelegt o5ei. Beweis. Wir nehmen z > 0 an. Dies ist insofern keine Einschriinkung, als nach erfolgter Rechnung analytische Fortsetzung in die rechte Halbebene vorgenommen werden kann.

Das Residuum an einer solchen Stelle ist an beiden Stellen zusammen 2(211"n)s-1 sin (is + 211"nz) = 2(211"n)S-1 (sin is cos(211"nz) + cos is sin(211"nz)) . Daher ist (Zjs) = 2r(1 - s) {. J 1 11" s n=l n -s n- S _ r(1 -: s) / (-W- 1 e- zt dt. 211"l 1 - e- t eN Der Integrationsweg eN verlauft von 00 bis t = (2N + 1)11", dann langs des Kreises It I = (2N + 1)11" und von t = (2N + 1)11" zuruck nach 00. Die beiden Integrale langs der reellen Achse gehen fUr N -+ 00 exponentiell gegen O. Das Integral langs des Kreises ist O(NRe(s»), geht also fUr Re(s) < 0 auch gegen O.

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