Algebraische Topologie by Prof. Dr. Karl Heinz Mayer (auth.)

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Eine Abbildung f : X ~ Y heiSt gleichmafiig stetig, wenn zu jedem c > ein 8 > existiert, so daB fur alle x, y E X mit d(x, y) < 8 gilt e(f(x), f(y)) < c. Zeigen Sie: Wenn X komapkt ist, ist jede stetige Abbildung von X nach Y gleichmaSig stetig. 7. In einem kompakten Raum, der das erste Abzahlbarkeitsaxiom erfullt, besitzt jede Folge eine konvergente Teilfolge. 8. X sei ein topologischer Raum. Auf X X [0,1] sei die Aquivalenzrelation ""," definiert durch die Festsetzung: (x,s) '" (y,t) genau dann, wenn (x,s) = (y,t) oder s = t = oder s = t = 1.

Dazu sei V eine offene Umgebung von zoo Dann ist Z \ V kompakte Teilmenge von X' und K = i- 1 (Z \ V) kompakte Teilmenge von Y. U = Y \ Kist eine Umgebung von 00 mit j(U) C V. 12 ist j ein Homoomorphismus. 27 Definition. Es seien X und Y lokalkompakte Raume. Eine stetige Abbildung j : X -+ Y heifit eigentlich, wenn fur jede kompakte Teilmenge K von Y das Urbild j-l(K) kompakt ist. 28 Satz. Es seien j : X -+ Y eine stetige Abbildung zwischen lokalkompakten Raumen und X+ = XU{oo}, y+ = YU{w} die AlexandroiJ-Kompaktijizierung von X bzw.

Es seien a E n Xa und f eine stetige Abbildung von U Xa in einen diskreten aEA aEA Raum. 4 (iii), daXa zusammenhangend ist. Daher ist f(x) = f(a) fiir alle x E U Xa. 9 Satz. X und Y seien topologische Riiume. X sei zusammenhiingend, und f : X - t Y sei eine stetige Abbildung. Dann ist f(X) zusammenhiingend. ngend ist, gibt es eine stetige surjektive Abbildung 9 : f(X) - t Z auf einen diskreten Raum Z, der wenigstens zwei Elemente enthiilt. Da go f : X - t Z ebenfalls stetig und surjektiv ist, ist X nicht zusammenhangend im Widerspruch zur Voraussetzung.

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